पायथागोरसच्या प्रमेयाचा इतिहास

शोध शून्याचा’ या लेखमालेत आपण दशमान पद्धत आणि शून्याचा इतिहास पाहिला. बखशाली हस्तलिखित प्रत हा दशमान पद्धतीचा आणि शून्याचा पहिला लिखित पुरावा. ही प्रत इ.स. तिसऱ्या किंवा चौथ्या शतकात लिहिली गेली हे कार्बन डेटिंगने नुकतेच ठरविण्यात आले. यावरून इ.स. पहिल्या किंवा दुसऱ्या शतकात दशमान पद्धत उदयास आली असावी असे अनुमान आपण लावू शकतो. पण दशमान पद्धत वापरात येण्यापूर्वी भारतात गणितात कोणत्या प्रकारची प्रगती झाली होती?

दशमान पद्धत आज एवढी सरावाची आणि सवयीची झाली आहे की दशमान पद्धतीशिवाय गणिताचा विचार करणेही अवघड जाते. त्यामुळेच यापूर्वी फारसे गणितच नसावे असा विचार सहज मनात येतो. पण या प्रश्नाचे उत्तर खूपच मनोरंजक आहे.

इ.स. पूर्व १५ वे शतक ते इ.स. पूर्व ५ वे शतक हा साधारण भारतातील वैदिक काळ मानला जातो. वैदिक काळात यज्ञ-याग्य यांना खूप महत्त्व होते. यज्ञ करण्यासाठी वेगवेगळ्या आकाराची यज्ञकुंडे बनवली जात. यज्ञ यशस्वी होऊन योग्य परिणाम मिळावा यासाठी या यज्ञकुंडांचा आकार अगदी अचूक असायला हवा अशी धारणा होती. यज्ञकुंडांचा आकार आखण्यासाठी प्रामुख्याने दोरीचा वापर केला जाई. दोरीच्या साहाय्याने यज्ञकुंड आखताना भूमितीचा बराच अभ्यास या काळात केला गेला. या सर्व अभ्यासातील निष्कर्ष शुल्भसूत्र या प्राचीन वचनांमध्ये सापडतात.

शुल्भ म्हणजे दोरी. वेदांच्या बरोबरीने येणारी शुल्भसूत्रे इ. स. पूर्व आठव्या ते इ.स. पूर्व दुसऱ्या शतकात रचली गेली.

वचन हा शब्द यासाठी वापरला कारण वेदांप्रमाणेच शुल्भसूत्रे ही केवळ पाठांतराने पिढ्यानपिढ्या प्रसारित झाली आणि लेखनाचा पर्याय उपलब्ध झाल्यावर अनेक शतकांनंतर लिहिली गेली.

यातील सर्वांत जुनी शुल्भसूत्रे म्हणजे बौधायन शुल्भसूत्रे जी इ. स. पूर्व आठव्या शतकात रचली गेली. यात बौधायन या व्यक्तीचा उल्लेख आढळतो, जे त्या काळातील एक ऋषी असण्याची शक्यता आहे. याव्यतिरिक्त फारशी माहिती उपलब्ध नाही.

बौधायन शुल्भसूत्रात असलेल्या गणितातील सर्वांत महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे त्यात असलेला पायथागोरसच्या प्रमेयाचा उल्लेख. या सूत्रांतील मूळ संस्कृत श्लोक असा आहे:

दीर्घचतुरश्रस्याक्ष्णया रज्जु: पार्श्वमानी तिर्यग् मानी च यत् पृथग् भूते कुरूतस्तदुभयं करोति

(कर्णाच्या लांबी बरोबर ताणलेली दोरी उभ्या आणि आडव्या बाजूच्या बेरजे इतके क्षेत्रफळ तयार करते.)

भौमितिक उदाहरणासाठी पुढील आकृती पाहा.

Pythagorean

 

पायथागोरसच्या प्रमेयाच्या विधानाचा उल्लेख असलेला आज जगाला माहीत असलेला हा पहिला पुरावा.

गमतीचा भाग म्हणजे मूळ पायथागोरसच्या दोनशे वर्षे आधीचा हा काळ आहे. जर बौधायन शुल्भसूत्रांच्या निर्मितीनंतर बऱ्याच काळाने ती लिहिली गेली असली तर बौधायन शुल्भसूत्रांचा काळ अचूक कसा ठरवता येतो असा प्रश्न पडू शकतो, जो पूर्णपणे रास्त आहे. शुल्भसूत्रांमधील संस्कृत, त्यात येणारे वेदांचे उल्लेख आणि इतर संदर्भ यांनी हा काळ बऱ्यापैकी अचूक ठरवता येतो. गणिताच्या इतिहासाच्या आंतरराष्ट्रीय परिषदांमध्ये शुल्भसूत्रांना बरीच मान्यता मिळालेली आहे आणि त्यांच्या काळाविषयी आता फारसे दुमत नाही.

यावरून पायथागोरस प्रमेयाचा उदय भारतात झाला असे म्हणता येईल का?

मुळात या प्रश्नाला अनेक पैलू आहेत. या प्रत्येक पैलूचा आपण विचार करू.

पायथागोरस प्रमेयाशी निगडीत साधी संकल्पना म्हणजे प्रमेयाच्या तीन संख्या. ज्या काटकोन त्रिकोणाच्या तीन बाजू दर्शवितात. उदा. (३, ४, ५). (५, १२, १३). अंदाजे इ. स. पूर्व २५व्या शतकात इजिप्तमधील संस्कृतीमध्ये काही संरचनांमध्ये या तीन संख्यांचा वापर केलेला आढळतो. या रचना पाहून कदाचित इजिप्तमधील त्या वेळच्या संस्कृतीत प्रमेयाचे ज्ञान असावे असा अंदाज बांधता येतो. पण या संख्यांचा वापर हा निव्वळ योगायोगही असू शकतो, कारण तसा लिखित पुरावा कोणताच उपलब्ध नाही.

पायथागोरस प्रमेयाच्या तीन संख्यांचा पहिला लिखित पुरावा बॅबिलॉन संस्कृतीत इ. स. पूर्व १८ व्या शतकात आढळतो. या पुराव्यांपैकी एका मातीच्या पाटीवर प्रमेयाच्या तीन संख्यांचा मोठा संच कोरलेला आहे.

पुढील फोटो पाहा.

ही पाटी हा खूपच जुना आणि महत्त्वाचा दुवा आहे. गमतीचा भाग म्हणजे यावरील संख्या या दशमान पद्धतीत नसून ६० पाया असलेल्या (Sexagesimal) स्थानिक मूल्यावर आधारित पद्धतीत आहेत. यावरून बॅबिलॉन संस्कृतीत प्रमेयाचे ज्ञान असावे अशी खूप मोठी शक्यता निर्माण होते. पण प्रमेयाचे विधान (statement) मात्र बॅबिलॉन पुराव्यात सापडत नाही. शिवाय या संख्यांचा कोणताही भौमितिक संदर्भ सापडलेला नाही. कदाचित ही पाटी a वर्ग + b वर्ग = c वर्ग हे समीकरण केवळ बीजगणिताच्या अनुषंगाने सोडवण्याचा प्रयत्न असू शकतो.

वर लिहिल्याप्रमाणे पायथागोरस प्रमेयाचे पहिले लिखित विधान हे भारतीय संस्कृतीत बौधायन सुल्भसूत्रात. इ. स. पूर्व आठव्या शतकात सापडते. यज्ञकुंडांच्या आखणी संबंधित हे विधान भौमितिक संदर्भ (geometric reference) देतेच शिवाय या विधानावरून प्रमेय सोडवणाऱ्या ३ संख्या अगणित (infinite) आहेत हा महत्त्वपूर्ण निष्कर्ष काढता येतो. प्रमेयाचे विधान हा निकष लावला तर पायथागोरस प्रमेयाचा उदय भारतात झाला असे म्हणता येऊ शकेल.

पण सुल्भसूत्रात प्रमेयाची सिद्धता (proof) सापडत नाही. प्रमेयाची पहिली सिद्धता चीनमध्ये इ. स. पूर्व दुसऱ्या शतकात ‘चाऊ पाई सुआन चिंग’ या ग्रंथात सापडते. सिद्धता हा निकष लावला तर प्रमेयाच्या शोधाचे श्रेय चीनला जाते.

पुढील फोटो पाहा.

राहता राहिला प्रश्न तो पायथागोरसचा. तर पायथागोरस हा इ. स. पूर्व सहाव्या शतकात ग्रीस मधील एका गणिताच्या शाळेचा प्रमुख होता. त्याने स्वतः किंवा त्याच्या विद्यार्थ्यांनी प्रमेय मांडून प्रमेयाची सिद्धता केली असावी असा सर्वसाधारण समज आहे. ग्रीकांनी त्या वेळी केलेल्या गणितातील प्रगतीवरून ही शक्यता नाकारता येत नाही, पण याचा कोणताच निश्चित पुरावा आज उपलब्ध नाही.

पुराव्यांअभावी प्रमेयाला पायथागोरस प्रमेय म्हणणे कोणत्याच अनुषंगाने सयुक्तिक ठरत नाही.

गणिताचा इतिहास ही मोठी मनोरंजक गोष्ट आहे. एवढ्या हजारो वर्षांपूर्वी कोणत्या संस्कृतीत नक्की काय ज्ञान होते हे सर्वच आपण आज जाणू शकत नाही. पण उपलब्ध पुराव्यांवरून त्या काळात आपल्याला डोकावून नक्कीच पाहता येते. आणि त्याचा अभ्यास करणे हा एक अत्यंत रोमांचकारी अनुभव असू शकतो.

—————–

तळटीप १: शुल्भसुत्रात समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या पायथागोरस प्रमेयाची सिद्धता आहे असे एका ठिकाणी वाचण्यात आले पण त्याबद्दल निश्चित सांगता येणार नाही. यासाठी मूळ सूत्रांचा नीट अभ्यास करायला हवा.

तळटीप २: इ. स. १२व्या शतकात भास्कराचार्यांनीं पायथागोरस प्रमेयाची सिद्धता केली आहे. पण त्याविषयी नंतर कधीतरी सविस्तर लिहेन.

——————–

हा लेख इतरांना पाठवा

कौस्तुभ निमकर

संगणकशास्त्रात पीएचडी आणि गणित अभ्यासक

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *