जैन साहित्यातील गणित

भारतातील गणिताच्या इतिहासातील सर्वांत महत्त्वाचा टप्पा म्हणजे आर्यभट्टांचा काळ. हा काळ म्हणजे इ.स. सहाव्या शतकाची सुरुवात. इथून पुढच्या काळात भारतात गणितात नक्की काय प्रगती झाली याची माहिती बरीच उपलब्ध आहे. ही समजण्यास सोपी आहे असे माझे म्हणणे नाहीये, पण या विषयात रस असलेल्यांना ही माहिती सहज मिळू शकते.

आर्यभट्टांच्या आधीच्या काळात नक्की काय घडलं, हा अभ्यासाचा आणि संशोधनाचा विषय आहे. गणिताच्या इतिहासाच्या आंतरराष्ट्रीय परिषदांमधून गेल्या काही वर्षांत याबद्दल माहिती मिळू लागली आहे.

मागील लेखात आपण वेदांच्या बरोबरीने येणाऱ्या शुल्भसूत्रांचा इतिहास आणि त्यात असलेल्या पायथागोरसच्या प्रमेयाचा उल्लेख पाहिला. शोध शून्याचा या लेखमालेत आपण दशमान पद्धत आणि शून्याचा इतिहास पाहिला. इ.स. पहिल्या किंवा दुसऱ्या शतकात दशमान पद्धत आणि शून्याचा भारतात उदय झाला असे अनुमान आपण लावू शकतो. या व्यतिरिक्त आर्यभट्टांच्या आधीच्या काळात भारतात झालेल्या गणितातील प्रगतीचा महत्त्वाचा भाग म्हणजे जैन साहित्यात सापडणारे गणित. तो भाग या लेखात पाहू.

जैन धर्माचा उदय इ. स. पूर्व सहाव्या शतकात झाला. या काळापासून आर्यभट्टांच्या काळापर्यंत म्हणजे पुढच्या दहा-बारा शतकांत बऱ्याच जैन साहित्याची निर्मिती झाली आणि त्यात गणितही आलेच. यात इ. स. पूर्व चौथ्या शतकातील ‘सूर्य प्रज्ञाप्ती’, याच काळातील ‘जंबुद्वीप प्रज्ञाप्ती’, इ. स. पूर्व तिसऱ्या शतकातील ‘भगवती सूत्र’, इ. स. पूर्व दुसऱ्या शतकातील ‘स्थानांग सूत्र’ आणि यानंतरच्या काळातील ‘अनुयोगद्वार सूत्र’ यांचा समावेश होतो.

फार पूर्वीपासून भारतात मोठमोठ्या संख्यांबद्दल खूप आकर्षण दिसून येते. मोठमोठ्या संख्यांची ही संकल्पना त्याच्या क्षितिजापर्यंत ताणली की ‘अनंतता’ (Infinity) या महत्त्वपूर्ण गणिती संकल्पनेचा उदय होतो. जैनांनी त्यांच्या गणितात अनंततेचा मोठ्या प्रमाणावर अभ्यास केलेला दिसतो. ‘अनंतता’ ही संकल्पना जैन धर्माच्या ब्रह्माण्डासंबंधीच्या कल्पनांतही आढळते.

जैन तत्त्वज्ञानाच्या मते –

ब्रह्माण्ड हे अनंत मोठे आहे. ते निर्माण असे झाले नाही, ते कायमच अस्तित्वात होते आणि राहील. वेळ ही अनादी आहे, ती कायमच होती आणि कायमच राहील. सर्व ब्रह्माण्ड आकाश तत्त्वाने व्यापलेले आहे आणि या तत्त्वाला कोणताही आकार नाही.

जैनांच्या साहित्यात आढळणाऱ्या गणिती अनंतता संकल्पनेचा उगम हा त्यांच्या या ब्रह्माण्डासंबंधीच्या व्यापक संकल्पनेतून झाला आहे. जैनांच्या गणितात अनंततेचे अनेक प्रकार आढळतात, उदा. एकाच दिशेने अनंत, दोन दिशांनी अनंत, क्षेत्रफळात अनंत, सर्व दिशांनी अनंत आणि अनादी अनंत. या संकल्पना एवढ्या वेगळ्या आणि काळाच्या एवढ्या पुढे होत्या, की जैनांनंतर अशाप्रकारे अनंततेचा अभ्यास करायला १९ वे शतक उजाडावे लागले, जेव्हा जॉर्ज कॅन्टॉर या थोर गणितज्ञांनी अशा संकल्पनांचा अभ्यास सुरू केला.

घातांकाचे गणित (Logarithm) ही आज आपल्याला अत्यंत परिचित असलेली गणिती संकल्पना आहे. जैनांनी याविषयीदेखील अभ्यास केलेला दिसतो.

घातांकांच्या गणिताची सुरुवात खालील नियमाने होते.

ax ⋅ a y = a x+y

अनुयोगद्वार सूत्रात उल्लेख आहे,

पहिल्या वर्गमुळाला दुसऱ्या वर्गमुळाने गुणल्यास दुसऱ्या वर्गमुळाचा घन होतो

इथे a या संख्येचे पहिले वर्गमूळ म्हणजे (√a) आणि दुसरे वर्गमूळ म्हणजे (√√a).
गणिती भाषेत लिहायचे झाले तर –

(√a).(√√a) = (√√a)3.

(इथे a1/2 ⋅ a 1/4 = a 1/2 + 1/4 = a 3/4 त्यामुळे घातांकाचा वरील नियम लागू होतोच.)

अनुयोगद्वार सूत्रात पुढे उल्लेख आहे,

दुसऱ्या वर्गमुळाला तिसऱ्या वर्गमुळाने गुणल्यास तिसऱ्या वर्गमुळाचा घन होतो

गणिती भाषेत –

(√√a).(√√√a) = (√√√a)3.

(इथेही a1/4 ⋅ a 1/8 = a 1/4 + 1/8 = a 3/8
त्यामुळे घातांकाचा वरील नियम लागू होतोच.)

या उदाहरणांवरून घातांकाचे गणित (Logarithm) समजून घेण्याचा जैन गणिती प्रयत्न करत होते हे स्पष्ट दिसतं. आणि एवढ्या प्राचीन काळात हा अभ्यास होत होता ही चकित करणारी गोष्ट आहे.

जैनांच्या साहित्यात गणिती संच या संकल्पनेचा (set theory) आणि त्यावर करण्यात येणाऱ्या क्रियांचा मोठ्या प्रमाणावर अभ्यास आढळतो. n गोष्टींच्या संचातून r गोष्टींची किती वेगवेगळ्या प्रकारे निवड करता येईल ही गणिती भाषेत कॉम्बिनेशन्स ही क्रिया होय, जी nCr अशी चिन्हांकित रूपात लिहिली जाते.

त्याप्रमाणेच n गोष्टींच्या संचातून r गोष्टींची निवड करून त्यांच्या वेगवेगळ्या रचना कशा करता येतील ही गणिती भाषेत परम्युटेशन्स ही क्रिया होय, जी nPr अशी चिन्हांकित रूपात लिहिली जाते.

भगवती सूत्रात n गोष्टींच्या संचातून 1, 2, किंवा 3 गोष्टींचे कॉम्बिनेशन्स आणि परम्युटेशन्स कसे करायचे याचे नियम सापडतात. ते गणिती भाषेतच देत आहे –

nC1 = n,
nC2 = n(n – 1)/1.2,
nC3 = n(n – 1)(n – 2)/1.2.3,
nP1 = n,
nP2 = n(n – 1),
nP3 = n(n – 1)(n – 2),

पुढे जाऊन असेच नियम कोणत्याही n आणि r या संख्यांसाठी देता येतील हे देखील नमूद केलेले आहे. यावरून जैन गणितज्ञ सर्व अंगानी गणिताचा विचार करत होते हे दिसतं.

आता थोडे पुढे वळू.

(x + y) n या बैजिक पदाचा (expression) विस्तार कसा करायचा याचे सूत्र Binomial theorem या गणिती सिद्धांतातून मिळते. हा विस्तार करताना तयार होणाऱ्या पदांचे सहगुणक (coefficients) पास्कलचा त्रिकोण (Pascal’s Triangle) या गणिती संकल्पनेतून मिळतात.

पास्कलचा त्रिकोण बनवताना कॉम्बिनेशन्स क्रियेशी निगडित खालील सूत्राचा वापर होतो.

n+1Cr = nCr + nCr-1

हेच सूत्र जैनांच्या साहित्यात आढळते आणि पास्कलच्या त्रिकोणाला ‘मेरू प्रस्तार’ (मेरू पर्वत या संकल्पेनेशी निगडित) असे सुटसुटीत नावही सापडते. महत्त्वाचा भाग म्हणजे मूळ पास्कलच्या कित्येक शतके आधीचा हा काळ होय.

आर्यभट्टांच्या आधीच्या काळात भारतात फारसे गणित नव्हते असा सर्वसाधारण समज अनेक वर्षे होता. हा समज पूर्णपणे चुकीचा होता आणि या काळातही भारतात मोठ्या प्रमाणात गणिताचा अभ्यास होत होता हे आज आपण स्पष्टपणे पाहू शकतो.

जैन गणितावरून एक गोष्ट ठळकपणे दिसते ती म्हणजे केवळ व्यावहारिक आणि भौतिक प्रश्न सोडवण्याव्यतिरिक्त एक विषय म्हणून गणिताचा अभ्यास या काळात केला गेला. आणि ही जैन गणितज्ञांची भारताला आणि पर्यायाने जगाला दिलेली खूप मोठी देणगी आहे.

शुल्भसूत्रांमधील भूमिती, जैनांचे गणित आणि दशमान पद्धत हा पाया असलेल्या भारतीय गणिताने आर्यभट्टांच्या काळापासून एका सुवर्णयुगात प्रवेश केला. या सुवर्णयुगाबद्दल सविस्तरपणे पुढील काही लेखांत.

प्रमुख प्रतिमेचं श्रेय : Antoine Taveneaux [CC BY-SA 3.0], via Wikimedia Commons

हा लेख इतरांना पाठवा

कौस्तुभ निमकर

संगणकशास्त्रात पीएचडी आणि गणित अभ्यासक

2 thoughts on “जैन साहित्यातील गणित

  • May 24, 2019 at 12:36 am
    Permalink

    याबद्दल आधी थोडीफार माहिती होती. पण आपण या लेखात गणिती सूत्रां च्या सहाय्याने सविस्तर माहिती दिली.

    Reply
  • May 24, 2019 at 3:30 am
    Permalink

    Thank you Kaustubh for sharing this information.

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *