शोध शून्याचा (३) शून्य या संख्येचा उदय

‘शोध शून्याचा’ या मालिकेतला

पहिला लेख

दुसरा लेख


अलेक्झांडर-द-ग्रेटच्या बाबतीत एक गोष्ट सांगितली जाते.

इ. स. पूर्व चौथ्या शतकात अलेक्झांडर पर्शिया जिंकून जेव्हा भारतात आला तेव्हा सिंधू नदीच्या काठी एक नग्न साधू त्याला दिसला. तो साधू एका दगडावर बसून आकाशात एकटक बघत होता. अलेक्झांडरने साधूला विचारले,
“तू काय करतो आहेस?” साधूने उत्तर दिले, “मी शून्यत्व अनुभवतोय”. साधूने विचारले, “तू काय करतो आहेस?”. अलेक्झांडर म्हणाला, “मी जग जिंकायला निघालोय”.

यावर दोघेही हसले. साधू आणि अलेक्झांडर दोघांनाही वाटले की दुसरा वेडा आहे. अलेक्झांडरला वाटले, की हा साधू माणसाला मिळालेले एकमेव आयुष्य निरर्थक वाया घालवतोय. साधूला वाटले, की ज्या जगाला काही सीमा नाहीत ते जग जिंकायचा हा काय अट्टाहास? हा नाही तर पुढचा जन्म आहेच. जन्म-मरणाचे हे चक्र अनंत चालू असताना एवढ्या गडबडीने जग जिंकायचा हा काय वेडेपणा?

दोघेही हसून आपापल्या वाटेने निघून गेले.

ही गोष्ट खरी की खोटी ते माहीत नाही, पण यातून एक गोष्ट समजते ती म्हणजे शून्य ही संकल्पना आध्यात्मिक तत्त्वज्ञानात फार पूर्वीपासून भारतात होती. या संकल्पनेचा उगम बौद्ध तत्त्वज्ञानातून म्हणजे इ. स. पूर्व पाचव्या शतकात झाला असावा.

कालांतराने हीच संकल्पना भारतीय गणितात एका संख्यारुपाने उदयास आली. आणि शून्य या संख्येचा उदय झाला.
मागील लेखात दशमान पद्धतीत रिकामी जागा दाखवण्यासाठी शून्याचा वापर कसा सुरू झाला ते आपण पाहिले. स्थानिक मूल्यावर आधारित संख्यापद्धतीत रिकामी जागा दाखवण्यासाठी इतर संस्कृतींतही शून्यासारखीच संकल्पना होती.
पण शून्याचा एक संख्या म्हणून विचार हा मात्र संपूर्णपणे भारतात उदयास आलेला दिसतो.

आज आपल्याला संख्या म्हणून शून्याचा विचार करणे सहज शक्य होते. पण एक गोष्ट मान्य करायला हवी, की जेव्हा गणिताचा वापर केवळ व्यावहारिक गोष्टींचे मोजमाप करण्यासाठी होत होता त्यावेळी एक संख्या म्हणून शून्याचा विचार करणे हे बरेच अनैसर्गिक होते. त्यावेळी ही एक अत्यंत असामान्य आणि विलक्षण कल्पना होती.

इ. स. सातव्या शतकात ब्रह्मगुप्त या भारतीय गणितज्ञाच्या लेखनात शून्याला सर्वप्रथम एक संख्या म्हणून स्थान दिलेले दिसते. शून्याचा एक संख्या म्हणून विचार केला तर एक प्रश्न लगेच समोर उभा राहतो तो म्हणजे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार या मूळ गणिती क्रिया शून्याबरोबर करायच्या कशा?
‘ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त’ या ग्रंथात ब्रह्मगुप्त म्हणतात,

शून्य आणि धन संख्या यांच्या बेरजेने धन संख्या बनते, शून्य आणि ऋण संख्या यांच्या बेरजेने ऋण संख्या बनते. शून्य आणि शून्याच्या बेरजेने शून्य बनतो.

शून्य या संख्येमुळे लगेच धन संख्या, ऋण संख्या असे संख्यांचे वर्गीकरण करता येते. ऋण संख्या ही संकल्पना चीनमध्ये यापूर्वीही अस्तित्वात होती पण शून्यानंतर त्यांचा अभ्यास करणे जास्त सहज झाले.

ब्रह्मगुप्तांनी शून्याला सर्वप्रथम एक संख्या म्हणून स्थान दिले.

पुढे ब्रह्मगुप्त म्हणतात,

शून्यातून ऋण संख्या वजा करता धन संख्या उरते, शून्यातून धन संख्या वजा करता ऋण संख्या उरते. ऋण संख्येतून शून्य वजा करता ऋण संख्या उरते, धन संख्येतून शून्य वजा करता धन संख्या उरते. शून्यातून शून्य वजा करता शून्य उरतो

यापुढे जाऊन गुणकाराबद्दल ते म्हणतात,

कोणत्याही संख्येला शून्याने गुणून शून्य बनतो.

भागाकाराबद्दल मात्र ते चुकीचे स्पष्टीकरण देतात.

शून्याला धन किंवा ऋण संख्येने भागले असता शून्य बनतो किंवा अंशस्थानी शून्य आणि छेदस्थानी ठरावीक संख्या असलेला अपूर्णांक बनतो. धन किंवा ऋण संख्येला शून्याने भागले असता छेदस्थानी शून्य असलेला अपूर्णांक बनतो. शून्याला शून्याने भागले असता शून्य बनतो.

छेदस्थानी शून्य असलेला अपूर्णांक म्हणजे नक्की काय याचे स्पष्टीकरण मिळत नाही. इथे शून्याने भागाकार करणे म्हणजे नक्की काय हे शोधताना ते कमी पडतात. शून्याला शून्याने भागले असता शून्य बनतो, हे विधान चुकीचे आहे.
आधुनिक गणितानुसार शून्याने भागता येत नाही. या क्रियेची व्याख्या करता येत नाही. पण गणिताच्या दृष्टीने ब्रह्मगुप्त यांनी या प्रश्नाचा विचार त्या काळात केला होता ही अत्यंत उल्लेखनीय गोष्ट आहे.

ब्रह्मगुप्तांनंतर सुमारे दोनशे वर्षांनी महावीर या गणितज्ञांनी ‘गणित सार संग्रह’ या ग्रंथांत लिहिलंय

शून्याने गुणल्यावर शून्य बनतो, कोणत्याही संख्येतून शून्य वजा करता तीच संख्या उरते.
कोणत्याही संख्येला शून्याने भागले असता तीच संख्या उरते.

भागाकाराबद्दल ब्रह्मगुप्तांची चूक दुरुस्त करताना ते दुसरी चूक करतात.

पुढे तीनशे वर्षांनी म्हणजे इ. स. बाराव्या शतकात भास्कराचार्य लिहितात,

कोणत्याही संख्येला शून्याने भागले असता छेदस्थानी शून्य असलेला अपूर्णांक बनतो. हा अपूर्णांक म्हणजे अनंत संख्या. ज्याप्रमाणे अनंत आणि अपरिवर्तनीय अशा देवापासून अनेक जग आणि जीवांची उत्पत्ती किंवा विनाश झाला तरी देवात बदल होत नाही, तसेच अनंत संख्या ही अशी संख्या आहे ज्यात एखाद्या संख्येची भर घातली किंवा एखादी संख्या वजा केली तरी काही बदल होत नाही.

इथे पुन्हा एकदा आध्यात्मिक संकल्पनेची गणिताशी सांगड घातलेली दिसते. भास्कराचार्यांचे हे विधान लक्षणीय आहे आणि ते बरोबर आहे, असे वाटू शकते. पण शून्याने भागता येत नाही हाच निष्कर्ष बरोबर आहे.
कोणतीही संख्या n साठी, जर n/0 = ∞, तर 0 x ∞ = n असे गणित होते आणि सर्व संख्या समान होतात, जे अर्थातच चूक आहे.

भास्कराचार्यांनी शून्याच्या खालील क्रिया मात्र बरोबर सांगितल्या आहेत.

0 वर्ग = 0, and √0 = 0

ब्रह्मगुप्त, महावीर आणि भास्कराचार्य यांनी शून्याचा हा केलेला अभ्यास थोड्या त्रुटी असल्या तरी विलक्षण आणि जगाच्या कित्येक वर्षे पुढे होता.

या तीन लेखांत दशमान पद्धत, रिकामी जागा दाखवण्यासाठी शून्याचा वापर आणि शून्य ही संख्या यांचा इतिहास आपण पाहिला. भारतीयांची संख्याचिन्हे, दशमान पद्धत आणि शून्य या संकल्पना पूर्वेला चीनमध्ये आणि पश्चिमेला अरब जगात हळूहळू पोहोचू लागल्या. पुढे अरब जगातून हळूहळू या संकल्पना युरोपात पोचल्या. त्यांना विरोधही बराच झाला. हा विरोधही इतका विलक्षण होता की युरोपात या संकल्पनांना सर्वत्र मान्यता मिळायला १७वे शतक उजाडले. पुढच्या चारशे-पाचशे वर्षांत झालेल्या गणितातील प्रगतीच्या मुळाशी भारतीयांच्या या संकल्पना आहेत. संगणकीय प्रगती ही तर पूर्णपणे शून्य आणि एक या संख्यांवर आधारित आहे.
दशमान पद्धत आणि शून्याची इतर जगाला असलेली ओळख ही फक्त चारशे-पाचशे वर्षे जुनी आहे या गोष्टीवर आज विश्वास बसणार नाही, पण ते सत्य आहे.

प्राचीन भारतात अशा अनेक संकल्पना असतील का ज्या जगाला अजून पूर्ण समजायच्या आहेत?

कदाचित!

हा लेख इतरांना पाठवा

कौस्तुभ निमकर

संगणकशास्त्रात पीएचडी आणि गणित अभ्यासक

One thought on “शोध शून्याचा (३) शून्य या संख्येचा उदय

  • March 4, 2019 at 7:25 am
    Permalink

    प्राचीन भारतीय संस्कृती व विचारधारा निश्चितच “अनाकलनीय आणि गौरवशालीही” आहेत पण संशोधन व विचार व्हायला हवा हे महत्त्वाचे.

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *